Fondamenti della meccanica atomica
purchè si convenga che n può assumere anche valori negativi: allora ponendo , la (31) dà (sviluppo di Fourier in forma esponenziale)
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Lo stesso sviluppo si può ottenere in una forma più comoda usando le autofunzioni (29), che si possono raccogliere nell'unica formula
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Anche nel caso generale la (53) e la (54) si potrebbero facilmente mettere sotto forma trigonometrica.
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Questa speciale forma del gruppo d'onde presenta la particolarità che la A(k) è rappresentata da una formula analoga alla f: si trova difatti usando
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L'equazione si dirà autoaggiunta se ha la forma seguente (analoga alla (12))
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Va tenuto presente che la nella forma generale (133) o (133') (cioè non «monocromatica») non soddisfa all'equazione di Schrödinger (131), perchè
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Ricordiamo che la componente è della forma
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ed allora la (152) si identifica con la formula già nota , mentre la (151) assume la forma seguente:
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Calcolata così la , la ci dà la P(x) al tempo t: per scrivere in forma semplice il quadrato del modulo dell'espressione (171), conviene introdurre la
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(con k' e reali) e scriveremo la (174') nella forma
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Cerchiamo di integrare questa equazione con una serie della forma
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§ 35, il cui integrale generale ha la forma (149), ma le costanti che vi figurano saranno in generale diverse nei due tratti: nella regione II poi
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Ognuna di queste funzioni è della stessa forma dalla u trovata nel problema unidimensionale (§ 35, form. 149): come si è visto in quel caso, possiamo
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per C va posto : inoltre si può osservare che il primo termine si può scrivere (come è ben noto) in un'altra forma, poichè
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con che l'equazione assume la forma
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In questo caso l'equazione (258), per x tendente a , tende alla forma
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dove è un polinomio di grado n' soddisfacente l'equazione differenziale (264), che scriveremo ora nella forma
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Molte volte l'equazione (305) si può integrare col metodo della separazione delle variabili, cioè prendendo W della forma (308) (dove, beninteso
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d) Forma delle orbite.- Dobbiamo ora tener conto della rimanente condizione di Sommerfeld (323), dove n'(= 0, 1, 2,...) chiamasi quanto radiale.
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la forma
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Ricordiamo perciò anzitutto dalla meccanica razionale (v. § 52) che l'energia E di un sistema multiplamente periodico si può esprimere nella forma
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Difatti, detti al solito i versori degli assi (autofunzioni di un'equazione differenziale) ogni vettore f si può scrivere nella forma
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la forma
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Cominciamo con l'osservare una analogia formale tra l'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari, che scriveremo nella forma
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(1) Nel seguito avremo bisogno di applicare questo postulato solo a funzioni della forma , dove solo l'ultima parte richiede simmetrizzazione.
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composto di termini della forma , e che basta quindi dimostrare la (110) per un'espressione di questa forma: ora questi fattori sono tutti permutabili
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o, in forma esplicita,
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Essendo l' hamiltoniana della forma , si possono applicare le (111), (112) e si trova cosi
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Se poi G è una funzione delle q e delle p della forma
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Questa relazione si traduce nella seguente relazione tra gli elementi (ricordando che gli elementi di sono della forma , e quelli di devono risultare
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Indichiamo, come prima, con le autofunzioni del sistema imperturbato, le quali hanno la forma
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Supponiamo dunque che il termine perturbatore dell'hamiltoniana sia della forma
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nella forma generica hermitiana
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ovvero, in forma esplicita,
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Affinchè il secondo membro abbia effettivamente la forma di una divergenza, basta imporre alle matrici le condizioni
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ossia, in forma esplicita:
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Gli operatori si possono scrivere in forma più simmetrica introducendo in luogo di t la variabile
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Si noti che l'equazione di continuità (263) assume, con le notazioni (306), la forma
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e la (319) assume la forma
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È ovvio in questo caso ricercare per la S una forma infinitamente vicina alla matrice unità, cioè porre , dove le sono infinitesime, ossia:
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Scriviamo l'equazione di Dirac nella forma (300), sostituendovi le con le e la con una nuova funzione ; avremo, esplicitando gli operatori mediante
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Con l'aiuto di queste formule si verifica senza difficoltà che, se si prendono le quattro della forma:
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Un secondo modo di soddisfare le (334) consiste nel prendere le della forma
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Applichiamo ora questo operatore alle della forma (338) o della forma (341), osservando che
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Si osservi che per r tendente all'infinito queste equazioni tendono alla forma
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a zero per , si dovrà scartare il segno +: si è così condotti a ricercare soluzioni della forma
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(la sommatoria essendo estesa a tutte le permutazioni ), ed una antisimmetrica, la quale si può scrivere sotto forma di determinante nel modo
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con costanti. Poichè alla corrisponde in prima approssimazione l'autovalore e a l'autovalore Ea, esse potranno scriversi sotto la forma:
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Si osservi che qualunque equazione del tipo (1) può mettersi in forma autoaggiunta: infatti, moltiplicando la (1) per il fattore, non nullo,
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Se poi C contiene linearmente un parametro λ, come nella (8), sarà così anche di R, e l'equazione (12) avrà la forma
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Accademia della crusca
